高3でつまずきやすい単元

定積分 ∫[0→1] x e^(2x) dx の値を求めよ。

なぜ、そうなるの？　[ (1/2)e^(2x) ]〔0→1〕 を計算するとき、上端 x = 1 の代入だけして下端 x = 0 の代入を忘れる（あるいは e⁰ を 0 と思い込む）。その結果 +1/4 の定数項が丸ごと落ちる。指数関数は x = 0 でも値が 0 にならないという確認が抜けている。

平面上のベクトル a, b について、|a| = 2、|b| = 3、a・b = −3 である。このとき |a + 2b| の値を求めよ。

なぜ、そうなるの？　ベクトルの大きさを表す記号を、実数の絶対値のように分配して足してしまう。ベクトルの和の大きさは2つのベクトルの向き（＝内積）で変わるので、|a + 2b| ＝ |a| + 2|b| が成り立つのは同じ向きのときだけである。まず2乗して展開する、という手順を踏んでいない。

水平な床の上に、2本の十分に長い平行なレールが間隔 0.20 m で固定されており、その一端は抵抗値 2.0 Ω の抵抗でつながれている。レールに垂直に置かれた金属棒を、レールと接触させたまま、レールに沿って一定の速さ 4.0 m/s で滑らせる。この装置全体には、床に垂直な向き（鉛直方向）に磁束密度 0.50 T の一様な磁場がかかっている。金属棒とレールの電気抵抗、および摩擦は無視できるものとして、次の(1)〜(3)を有効数字2桁で求めよ。 (1) 金属棒に生じる誘導起電力の大きさ (2) 回路を流れる電流の大きさ (3) 金属棒を一定の速さで滑らせ続けるために、外から加え続けなければならない力の大きさ

なぜ、そうなるの？　「等速運動＝合力が 0 ＝力を加える必要がない」と短絡してしまう。合力が 0 であるのは正しいが、それは外力が運動を妨げる向きの電磁力とちょうどつり合っているからであって、外力そのものが 0 なのではない。摩擦がなくても電流が流れれば制動力がはたらく、という点が見えていない。

次の英文を日本語に訳しなさい。 Those who have never failed at anything are unlikely to have tried anything new.

なぜ、そうなるの？　to have tried の〈to have + 過去分詞〉が、主節の動詞より前の時を表す完了不定詞だと気づかず、単なる to try と同じに読んでしまう。その結果「これから挑戦しないだろう」という未来の話にすり替わり、「今まで挑戦してこなかったはずだ」という原文の含意（失敗が無いのは挑戦が無いからだ）が消えてしまう。

y=e^(x²) を微分しなさい。

なぜ、そうなるの？　指数の x² を微分して 2x を得るところまでは合っている。その 2x を、指数の位置にそのまま書きかえて e^(2x) としてしまう。内側を微分して出てきた値は、指数の中身を置きかえるのではなく、外へかける係数になる。かける場所を取りちがえている。

1000人に1人がかかる病気があります。ある検査は、この病気の人の 99% を陽性と判定しますが、健康な人の 5% も陽性と判定します。10万人が検査を受けたとき、陽性と判定された人のうち実際に病気である人はおよそ何 % ですか。

なぜ、そうなるの？　「病気の人が陽性になる確率 99%」を、そのまま「陽性の人が病気である確率」と読みかえてしまう。条件付き確率は、どちらを条件にするかで値がまったく変わる。ここでは健康な人がもともと圧倒的に多いので、少ない誤判定でも陽性者の大半を占めてしまう。

複素数 z=1+i を6乗した値を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　極形式に直し、偏角を6倍するところまでは正しく進んでいる。ずれるのは絶対値の扱いで、偏角と同じように 6倍して √2×6 としてしまう。n乗で n倍になるのは偏角だけで、絶対値のほうは n乗される。かけ算では長さは掛け、角度は足す、という違いがそのままn乗にも現れる。

x が限りなく大きくなるときの √(x²+x)-x の極限を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　どちらも限りなく大きくなるので、差は打ち消し合って 0 になると考えてしまう。無限大どうしの引き算は値が決まらない形で、どちらがどれだけ速く大きくなるかで答えが変わる。ここでは差が一定値に近づくので、形を変えて中身を見にいく必要がある。

The man who I think is honest helped me. の who は主格と目的格のどちらですか。

なぜ、そうなるの？　who のすぐ後ろに I think と主語＋動詞が続くので、who を think の目的語だと読んでしまう。並び順だけを見ると目的格の形とまったく同じで、区別がつかない。決め手は、挿入を外したあとにどの動詞の主語が欠けているかのほう。

I saw him ( ) the room. の ( ) に入る形として、彼が部屋に入る動作を最初から最後まで見たことを表すのは、enter と entering のどちらですか。

なぜ、そうなるの？　見ている場面はどれも進行中に感じられるので、-ing のほうが自然に思えてしまう。知覚動詞での原形と -ing の違いは、見ていた時間の長さではなく、動作を全体として見たか途中の一場面として見たか。日本語に訳すとどちらも「見た」になるので、差が消えてしまう。

ある有機化合物を元素分析したところ、質量の割合は炭素 40%、水素 6.7%、酸素 53.3% でした。この化合物の分子量が 180 であるとき、分子式を答えなさい。

なぜ、そうなるの？　組成式 CH2O を出すところまでは、計算も比の取り方も正しい。そこで答えにしてしまうのが分かれ目。元素分析だけで決まるのは原子の個数の比までで、実際に何個ずつあるかは決まらない。分子式にするには分子量という別の情報が要る。