高3 数学でつまずきやすい単元

定積分 ∫[0→1] x e^(2x) dx の値を求めよ。

なぜ、そうなるの？　[ (1/2)e^(2x) ]〔0→1〕 を計算するとき、上端 x = 1 の代入だけして下端 x = 0 の代入を忘れる（あるいは e⁰ を 0 と思い込む）。その結果 +1/4 の定数項が丸ごと落ちる。指数関数は x = 0 でも値が 0 にならないという確認が抜けている。

平面上のベクトル a, b について、|a| = 2、|b| = 3、a・b = −3 である。このとき |a + 2b| の値を求めよ。

なぜ、そうなるの？　ベクトルの大きさを表す記号を、実数の絶対値のように分配して足してしまう。ベクトルの和の大きさは2つのベクトルの向き（＝内積）で変わるので、|a + 2b| ＝ |a| + 2|b| が成り立つのは同じ向きのときだけである。まず2乗して展開する、という手順を踏んでいない。

y=e^(x²) を微分しなさい。

なぜ、そうなるの？　指数の x² を微分して 2x を得るところまでは合っている。その 2x を、指数の位置にそのまま書きかえて e^(2x) としてしまう。内側を微分して出てきた値は、指数の中身を置きかえるのではなく、外へかける係数になる。かける場所を取りちがえている。

1000人に1人がかかる病気があります。ある検査は、この病気の人の 99% を陽性と判定しますが、健康な人の 5% も陽性と判定します。10万人が検査を受けたとき、陽性と判定された人のうち実際に病気である人はおよそ何 % ですか。

なぜ、そうなるの？　「病気の人が陽性になる確率 99%」を、そのまま「陽性の人が病気である確率」と読みかえてしまう。条件付き確率は、どちらを条件にするかで値がまったく変わる。ここでは健康な人がもともと圧倒的に多いので、少ない誤判定でも陽性者の大半を占めてしまう。

複素数 z=1+i を6乗した値を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　極形式に直し、偏角を6倍するところまでは正しく進んでいる。ずれるのは絶対値の扱いで、偏角と同じように 6倍して √2×6 としてしまう。n乗で n倍になるのは偏角だけで、絶対値のほうは n乗される。かけ算では長さは掛け、角度は足す、という違いがそのままn乗にも現れる。

x が限りなく大きくなるときの √(x²+x)-x の極限を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　どちらも限りなく大きくなるので、差は打ち消し合って 0 になると考えてしまう。無限大どうしの引き算は値が決まらない形で、どちらがどれだけ速く大きくなるかで答えが変わる。ここでは差が一定値に近づくので、形を変えて中身を見にいく必要がある。