高2 数学でつまずきやすい単元

α は鋭角、β は鈍角であり、sinα = 3/5、cosβ = −5/13 である。このとき sin(α + β) の値を求めよ。

なぜ、そうなるの？　「β は鈍角だから三角比は負になる」と大ざっぱに覚えていて、sinβ まで負にしてしまう。第2象限（鈍角）で負になるのは cos と tan であり、sin は正である。単位円の y 座標が sin だという確認が抜けている。

x についての方程式 　log_(x−1) 9 = 2　（底が x − 1、真数が 9 の対数） を解け。

なぜ、そうなるの？　対数の底には「正で、かつ 1 でない」という条件があることを確認せず、出てきた2次方程式の解をそのまま両方書いてしまう。真数条件は習慣で確認できても、底そのものに文字が入っている形では底の条件が意識から抜け落ちやすい。

曲線 y=x² に点 (0,-1) から引いた接線の傾きをすべて求めなさい。

なぜ、そうなるの？　与えられた点 (0,-1) をそのまま接点だと思い、x=0 を y'=2x に代入して傾き 0 としてしまう。(0,-1) は曲線 y=x² の上にない点なので、接点にはなりえない。「通る点」と「接する点」が同じだとはかぎらない、という区別が抜けている。

数列 3, 6, 12, 24, … の初項から第6項までの和を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　公式に入れる n を、最後の項 96=3×2⁵ の指数 5 だと読んで 3×(2⁵-1)=93 としてしまう。公式の n は指数ではなく足す項の個数で、初項から第6項までなら 6 個。項の番号と、その項に現れる指数が1つずれていることが見えにくい。

a₁=1、a_(n+1)=a_n+2n を満たす数列の一般項 a_n を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　階差を足していく向きは正しくつかめている。ずれるのは足す個数で、k を 1 から n まで動かしてしまう。a₁ から a_n まで進むのに使う階差は n-1 個なので、和の上端は n ではなく n-1。番号の差と個数が1つずれる。

曲線 y=x³ と直線 y=x で囲まれた部分の面積を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　交点 -1 と 1 を見つけたところまでは合っている。そこで区間をひとまとめにして -1 から 1 まで (x-x³) を積分すると、値が 0 になってしまう。途中の x=0 で上下が入れかわるので、そこで区間を切らないと符号が打ち消し合う。交点は端だけでなく途中にもある。