高1 数学でつまずきやすい単元

2次関数 y = x² − 4x + 5 について、0 ≦ x ≦ 1 における最大値と最小値を、そのときの x の値とともに求めよ。

なぜ、そうなるの？　平方完成して頂点 (2, 1) が出た瞬間に「最小値＝頂点の y 座標」と決めつけてしまい、頂点の x = 2 が定義域 0 ≦ x ≦ 1 の外にあることを確認していない。定義域が制限されているときは、まず軸が定義域の内か外かを判定する必要がある。

0° ≦ θ ≦ 180° とする。sinθ = 3/5 であり、θ は鈍角である。このとき cosθ と tanθ の値を求めよ。

なぜ、そうなるの？　cos²θ = 16/25 から cosθ = ±4/5 を出したところで符号の判定をせず、見慣れた 3 : 4 : 5 の直角三角形の形のまま正の値を答えてしまう。「鈍角のとき cos は負」という単位円上での符号の確認が抜けている。

x⁴-13x²+36 を因数分解しなさい。

なぜ、そうなるの？　x² を1つの文字と見て (x²-4)(x²-9) まで分けるところは、着眼も計算も正しい。手が止まるのは、そこで「分けきった」と感じてしまうところ。x²-4 も x²-9 も2乗の差なので、まだ分解できる。因数分解は分けられなくなるまで進めて終わり、という終わりの条件が抜けている。

A、A、B、C の4文字を1列に並べる並べ方は何通りありますか。

なぜ、そうなるの？　4文字だから 4!=24通り、と全部を区別して数えてしまう。順列の公式は「すべて異なるもの」を前提にしているので、同じ文字が混ざった時点で前提から外れている。公式が使える条件を確かめないまま当てはめてしまう。

1個のさいころを3回投げるとき、1の目がちょうど1回だけ出る確率を求めなさい。

なぜ、そうなるの？　(1/6)×(5/6)×(5/6)=216分の25 という計算そのものは合っている。抜けるのは、それが「1回目に出る場合」だけの確率だというところ。ちょうど1回という条件は出る場所を指定していないので、3通りぶんを足す必要がある。1通りの確率を求めた時点で答えに見えてしまう。

x²+2x+3>0 を解きなさい。

なぜ、そうなるの？　因数分解できないので手が出ない、と感じて「解なし」と書いてしまう。二次不等式で最初に見るのは因数分解できるかどうかではなく、グラフが x 軸と交わるかどうか。交わらない場合こそ答えが「すべての実数」か「解なし」に分かれるところで、不等号の向きで決まる。