数学IIIのつまずきやすい単元
数学IIIでつまずきやすいところを、実際のまちがい方からまとめました。いま公開しているのは3本、3単元ぶんです。
習う学年は学校によってちがうので、高3の科目として分類しているものを並べています。
数学IIIでよく出るまちがい
Teachが作った問題で見てみよう- 数学・数学III／部分積分
定積分 ∫[0→1] x e^(2x) dx の値を求めよ。
✕ よくあるまちがい(1/2)e² − (1/4)e² = (1/4)e² すなわち e²/4✓ 正しい答え(e² + 1)/4なぜ、そうなるの？ [ (1/2)e^(2x) ]〔0→1〕 を計算するとき、上端 x = 1 の代入だけして下端 x = 0 の代入を忘れる（あるいは e⁰ を 0 と思い込む）。その結果 +1/4 の定数項が丸ごと落ちる。指数関数は x = 0 でも値が 0 にならないという確認が抜けている。
- 数学・数学III／合成関数の微分
y=e^(x²) を微分しなさい。
✕ よくあるまちがいe^(2x)✓ 正しい答え2x e^(x²)なぜ、そうなるの？ 指数の x² を微分して 2x を得るところまでは合っている。その 2x を、指数の位置にそのまま書きかえて e^(2x) としてしまう。内側を微分して出てきた値は、指数の中身を置きかえるのではなく、外へかける係数になる。かける場所を取りちがえている。
- 数学・数学III／極限とはさみうちの原理
x が限りなく大きくなるときの √(x²+x)-x の極限を求めなさい。
✕ よくあるまちがい0✓ 正しい答え2分の1なぜ、そうなるの？ どちらも限りなく大きくなるので、差は打ち消し合って 0 になると考えてしまう。無限大どうしの引き算は値が決まらない形で、どちらがどれだけ速く大きくなるかで答えが変わる。ここでは差が一定値に近づくので、形を変えて中身を見にいく必要がある。
解説であつかっているまちがい
3件- 極限とはさみうちの原理はさみうちで極限0
「sinは振動するから極限なし」と書いて止まった人、実は振動の観察までは正しい。惜しいのは次の一手だ。−1≦sin x≦1をxで割って両側から挟むと、壁±1/xがどちらも0へ一致し、中身も0に確定する。
この解説を見る → - 合成関数の微分外をむいたら中もむく
外側を微分して3(x²+1)²まで書けたのは大きな一歩。ただ合成関数は外の微分×中の微分でワンセット。中身x²+1もxの式だから、その微分2xを掛けて初めて完成だよ。不安ならx=1を代入して24になるか確かめよう。
この解説を見る → - 部分積分部分積分で∫x sin x dx を解く
式が複雑になったら役割が逆というサイン。部分積分に気づけた時点で半分正解だよ。微分して消える x を u、sin x を dv に選べば、残る積分は ∫cos x dx まで軽くなって一気に解ける。
この解説を見る →
単元と解説
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