高3 / 数学III / 極限とはさみうちの原理
はさみうちで極限0
📝 こんな問題
x→∞のsin x/x。「振動するから極限なし」と書いた人、多いんだ。どこで分かれたと思う?振動の観察は合ってる。
1/5振動だから極限なし?
sin x は −1≦sin x≦1 で振動
x→∞ で 1/x は 0 に近づく
↓ ところが…
振動×縮小で極限が読めない
✎ 振動するから極限なし?
x→∞のsin x/x。「振動するから極限なし」と書いた人、多いんだ。どこで分かれたと思う?振動の観察は合ってる。
音声: VOICEVOX:ずんだもん
どこでまちがえた?
「sinは振動するから極限なし」と書いて止まった人、実は振動の観察までは正しい。惜しいのは次の一手だ。−1≦sin x≦1をxで割って両側から挟むと、壁±1/xがどちらも0へ一致し、中身も0に確定する。
おぼえておきたいポイント
- ・振動しても極限は確定できることがある
- ・−1/x≦sin x/x≦1/xと上下の壁で挟む
- ・両端±1/x→0の一致を確認してから結論を書く
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